Teorema-teorema aku

Halaman         : 65

3.1.5. Ketunggalan limit. Suatu barisan bilangan real hanya dapat mempunyai satu

limit.

Bukti :

Andaikan sebaliknya, yaitu x¢ dan x¢¢ keduanya limit dari X = (xn) dan x’¹x”. Kita

pilih e > 0 sehingga Ve(x’) dan Ve(x”) saling asing (yaitu, e < ½½x” - x’½). Sekarang

misalkan K’ dan K” bilangan asli sehingga bila n > K’ maka xnÎVe(x’) dan bila n >

K” maka xnÎVe(x”). Tetapi ini kontradiksi dengan pengandaian bahwa Ve(x’) dan

Ve(x”) saling asing. (Mengapa?). Haruslah x’ = x”.

Halaman         : 81

3.2.6. Teorema. Bila x = (xn) suatu barisan konvergen dan a £ xn £ b untuk semua

nÎN, maka a £ lim (xn) £ b.

Bukti :

Misalkan Y barisan konstan (b, b, b, ...). Dari Teorema 3.2.5 diperoleh lim X £ lim Y

= b. Secara sama dapat ditunjukkan bahwa a £ lim X.

Sedangkan yang berikut menyatakan bahwa bila barisan Y diapit oleh dua barisan

konvergen yang limitnya sama, maka barisan y tersebut juga konvergen ke limit

dari kedua barisan yang mengapitnya.

Halaman         : 97

3.6. Barisan-barisan Divergen Murni

Untuk tujuan-tujuan tertentu dipandang baik sekali untuk mendefinisikan atau

yang dimaksudkan dengan suatu barisan bilangan real (xn) yang “menuju ke ± ¥“.

3.6.1. Definisi. Misalkan (xn) suatu barisan bilangan real.

(i). Kita katakan bahwa (xn) menuju ke + ¥, dan ditulis lim (xn) = +¥, jika untuk

setiap aÎR terdapat bilangan asli K(a) sedemikian sehingga jika n ³ K(a), maka

xn > a.

(ii).Kita katakan bahwa (xn) menuju ke - ¥, dan ditulis lim (xn) = - ¥, jika untuk

setiap bÎR terdapat bilangan asli K(b) sedemikian sehingga jika n ³ K(b), maka

xn < b.

Kita katakan bahwa (xn) divergen murni dalam hal kita mempunyai lim (xn)

= +¥ dan (xn) = - ¥.