BARISAN BILANGAN REAL (3.6 KRITERIA DIVERGEN)

MAKALAH ANALISA REAL

    

          Di susun

Oleh : kelompok 1

Nama :

Novita Desandra Tanjung

Nike Agnes Monika

Ninda Fauziah

Fitri Erliyanti

Kiki Tristiawanti .s

 Cindy Pratiwi

Dwi Umi Narsih

Riki Juanda

Kelas : B - III sore

                PROGRAM STUDI PENDIDIKAN  MATEMATIKA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

TAHUN AJARAN 2014

3.6  Kriteria Barisan Divergen (tidak konvergen)

Misalkan X = (x_n) adalah barisan bilangan real maka pernyataan berikut equivalen

                    i.            Barisan X = (x_n) tidak konvergen ke x ∈

                  ii.            Ada  ε₀ > 0  sedemikian sehingga  untuk setiap K ∈ N terdapat r_k ∈ N dengan r_k  ≥ K dan |X r_k – X | ≥  ε₀

                iii.            Ada ε₀ > 0 dan sebuah sub barisan X’ = (XC)  |X r_k – X | ≥ ε_0,  ∈N

Bukti i ii

x_n   x   () (. n ≥ K   |x_n –  x| < ε_. Sehingga

x_n  x   (ε₀  > 0 )  ( r_k   r_k  ≥ K   |x_n –  x| ≥ ε_0,

Bukti ii iii

x_n  x   (ε₀  > 0 )  ( r_k   r_k  ≥ K   |x_n –  x| ≥ ε

 r₁  r₁ ≥ 1  |x r₁ –  x| ≥ ε₀

 r₂  r₂  ≥  r₁ + 1  |x r₂ –  x| ≥ ε₀

 r₃  r₃  ≥  r₂ + 1  |x r₃ –  x| ≥ ε₀

_{.                                                            .}

_{.                                                            .}

_{.                                                            .}

 r_n  r_n  ≥  r_n-1 + 1  |x r_n –  x| ≥ ε₀

  (ε₀  > 0 ) dan X’ = ( x r_n ) |x r_n –  x| ≥ ε_0, 

Contoh :

1.      Buktikan bahwa barisan x_n = (-1)ⁿ , tidak konvergen

Bukti :

Andaikan x_n = (-1)ⁿ , konvergen

x_n = (-1)ⁿ , konvergen  x  )  lim(x_n) = x

x    x > 0 atau x = 0  x < 0

lim (x_n) = x   (   . n ≥ K   |x_n –  x| < ε_.

Kasus (i) misalkan x > 0

Untuk n ganjil x_n = -1, pilih ₀ = x  > 0

|x_n –  x| < ε  - < x_n - x <

                                - x < -1 – x ( hal ini tidak mungkin karena x > 0)

Berarti pengadaian salah. haruslah x_n tidak konvergen

Kasus (ii) misalkan x = 0

Untuk n genap  x_n = 1 , pilih ₀ =    > 0

|x_n –  x| < ε  - < x_n - x <

                                -   < -1  < -   ( hal ini tidak mungkin)

Berarti pengadaian salah. haruslah x_n tidak konvergen

Kasus (iii) misalkan x < 0

Untuk n genap  x_n = 1 , pilih ₀ =  - x  > 0

|x_n –  x| < ε  - < x_n - x <

                                x < 1  - x < - x  ( hal ini tidak mungkin karena x < 0)

Berarti pengadaian salah. haruslah x_n tidak konvergen

Dari (i),(ii) dan (iii) disimpulkan x_n tidak konvergen